“Equações da Física Matemática” - curso 2.800 rublos. da MSU, treinando 15 semanas. (4 meses), Data: 30 de novembro de 2023.
Miscelânea / / December 02, 2023
O curso é destinado a bacharéis, mestres e especialistas especializados em disciplinas de matemática, engenharia ou ciências naturais, bem como professores universitários. O objetivo do curso é apresentar ao aluno uma série de questões clássicas no campo das equações com a física matemática e ensinar ao aluno os métodos básicos de estudo de tais equações. O curso cobre material clássico sobre equações da física matemática (equações diferenciais parciais) dentro de um semestre de estudo. As seções “Equações lineares e quase lineares de primeira ordem”, “Classificação de equações lineares”, “Equação de onda”, “Equação parabólica”, “Soluções fundamentais”, “Equação de Laplace”. Conheceremos as formulações clássicas de problemas - o problema de Cauchy, problema de fronteira. Vamos dominar os métodos básicos de estudo de equações - integração direta, método de continuação de soluções, método de Fourier, método de soluções fundamentais, método de potenciais. Lembraremos frequentemente a derivação destas equações em problemas de física matemática e os limites de aplicabilidade dos nossos modelos.
Forma de estudo
Cursos por correspondência usando tecnologias de ensino a distância
Requisitos de Admissão
Disponibilidade de VO ou SPO
2
cursoDoutor em Ciências Físicas e Matemáticas, Posição de Professor: Professor do Departamento de Matemática Fundamental e Aplicada, Faculdade de Pesquisa Espacial, Universidade Estadual de Moscou em homenagem a M.V. Lomonosov
1. Primeiro encontro.
Palavra introdutória. Princípios básicos de trabalho com equações da física matemática. Exemplos de equações simples. Classificação. Resolver equações simples reduzindo-as a equações diferenciais ordinárias. Substituindo variáveis em uma equação.
2. Equações de primeira ordem – lineares e quase lineares.
Equações lineares. Encontrar um substituto adequado - compilar e resolver um sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Primeiras integrais do sistema. Características. Equações quase lineares. Encontrar uma solução de forma implícita.
3. Problema de Cauchy. Classificação de equações lineares de segunda ordem.
Declaração do problema de Cauchy. Teorema sobre a existência e unicidade de uma solução para o problema de Cauchy. Classificação de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Redução à forma canônica.
4. Equações hiperbólicas, parabólicas e elípticas.
Classificação de equações lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis no plano. Tipo hiperbólico, parabólico e elíptico. Resolvendo equações hiperbólicas. Problemas com condições iniciais e de contorno.
5. Equação de cordas.
Equação de onda unidimensional em todo o eixo. Onda para frente e para trás. fórmula de d'Alembert. Integral de Duhamel. Condições de contorno para a equação no semieixo. Tipos básicos de condições de contorno. Continuação da solução. O caso de um segmento finito.
6. Método de Fourier usando a equação das cordas como exemplo.
A ideia do método Fourier. O primeiro passo é encontrar uma base. O segundo passo é obter equações diferenciais ordinárias para os coeficientes de Fourier. A terceira etapa é levar em consideração os dados iniciais. Convergência de séries.
7. Equação de difusão (segmento finito).
Derivação da equação. Declaração de problemas (condições iniciais e de contorno). Método de Fourier. Levando em consideração o lado direito e a falta de homogeneidade nas condições de contorno. Convergência de séries.
8. Equação de difusão (eixo inteiro).
Transformada de Fourier, fórmula de inversão. Resolvendo a equação usando a transformada de Fourier. Teorema – justificativa do método (dois casos). Fórmula de Poisson. O caso de uma equação com o lado direito.
9. Funções generalizadas.
Escrevendo a fórmula de Poisson como uma convolução. Gravação na forma de uma convolução da solução da equação do calor em um segmento finito. Classe Schwartz. Exemplos de funções da classe. Definição de funções generalizadas, ligação com funções clássicas. Multiplicação de uma função generalizada por uma função básica, diferenciação. Convergência de funções generalizadas. Exemplos de funções genéricas.
10. Trabalhando com funções genéricas.
Resolução de equações diferenciais ordinárias em funções generalizadas. Transformada de Fourier de funções generalizadas. Convolução. Produto direto. O portador de uma função generalizada. Resolvendo a equação do calor unidimensional não homogênea usando a solução fundamental. Solução fundamental de um operador diferencial ordinário num intervalo.
11. Soluções fundamentais.
Derivação da fórmula de Poisson para a equação multidimensional do calor. Derivação da fórmula de Kirkhoff. Derivação da fórmula de Poisson para a equação de onda. Resolução de problemas utilizando o método de separação de variáveis, o método de superposição.
12. Equação de Laplace.
Derivação da equação de Laplace. Campo vetorial – potencial, fluxo através de uma superfície. Potencial volumétrico. Potencial de camada simples. Potencial de dupla camada. Potencial logarítmico.
13. Problema de Dirichlet, problema de Neumann e função de Green.
Funções harmônicas. Princípio do extremo fraco. Teorema de Harnack. Princípio máximo estrito. Teorema da unicidade. Teorema do valor médio. Suavidade sem fim. Teorema de Liouville. Fórmula de Green. Função de Green, suas propriedades. Solução do problema de Poisson com condições de Dirichlet utilizando a função de Green. Outros problemas de valor limite. Construção da função de Green pelo método da reflexão.
14.Método multidimensional de Fourier.
Resolução de problemas pelo método de Fourier. Várias condições de contorno. Funções de Bessel. Polinômio de Legendre. Revisão do curso concluído. Resumindo.