Geometria analítica - curso gratuito da Open Education, treinamento 13 semanas, cerca de 5 horas semanais, Data 29 de novembro de 2023.

Prêmios e conquistas Prêmio do Governo Russo na área de educação em 2010, Professor Homenageado do MIPT.

O curso consiste em 12 semanas de treinamento e uma semana de exames

Semana 1. Matrizes

01h00 Introdução

01.01 Definição de matriz

01.02 Operações com matrizes

01.02.01 Problema. Cálculo de combinação linear de matrizes

01/02/02 Problema. Encontrando a Matriz Transposta

01.03 Produto de matrizes. Parte 1

01.04 Produto de matrizes. Parte 2

01/04/01 Problema. Calculando o produto de matrizes

01/04/02 Problema. Verificando a existência de um produto e calculando-o 

01/04/03 Problema. Calculando uma matriz elevada à enésima potência. Exemplo 1

01/04/04 Problema. Calculando uma matriz elevada à enésima potência. Exemplo 2

01/04/05 Problema. Calculando um polinômio matricial

01/04/06 Problema. Verificando a validade da igualdade matricial

01/04/07 Problema. Calculando uma matriz para uma potência numérica

01.05 Determinante da matriz

01.05.01 Problema. Cálculo do determinante de uma matriz

01.06 Regra de Cramer

01/06/01 Problema. Resolvendo um sistema de equações lineares usando o método de Cramer

Semana 2. Vetores

02.01 Determinação de um segmento direcionado, vetor

02.02 Repetição do curso escolar de geometria 

02.02.01 Problema. Prova da desigualdade para um quadrilátero no espaço

02.02.02 Problema. Prova de igualdade para um n-gon

02.03 Combinação linear de vetores

02.04 Dependência linear e independência de vetores 

02.05 Critério de dependência linear de um sistema de vetores

02.06 Base

02.06.01 Problema. Encontrando coordenadas vetoriais

02.06.02 Problema. Encontrando as coordenadas de um paralelepípedo usando vetores

02.07 Substituição de base

02/07/01 Problema. Encontrando as coordenadas de um ponto de prisma em um novo sistema de coordenadas

02/07/02 Problema. Encontrando as coordenadas de um ponto de paralelogramo em um novo sistema de coordenadas

02.08 Sistema de coordenadas cartesianas (DCS)

02.08.01 Problema. Verificando se os vetores formam uma base

02.09 Substituição do ODSC

02.09.01 Problema. Encontrando as coordenadas dos vetores de origem e base nos sistemas de coordenadas novo e antigo

02.09.02 Problema. Encontrar as coordenadas de um vetor na nova base através das coordenadas da antiga

Semana 3. Produto de vetores

03.01 Produto escalar de vetores

03.02 Projeção de um vetor em um vetor diferente de zero

03.03 Propriedades do produto escalar de vetores. Parte 1

03.04 Propriedades do produto escalar de vetores. Parte 2

03/04/01 Problema. Encontrar os comprimentos dos lados e ângulos de um paralelogramo usando vetores de base

03/04/02 Problema. Encontrando a projeção ortogonal de um vetor em uma linha

03.05 Orientação de bases. Volumes e áreas orientadas

03.06 Produto misto de vetores. Parte 1

03.07 Produto misto de vetores. Parte 2

03.08 Produto vetorial de vetores. Parte 1

03.09 Produto vetorial de vetores. Parte 2

03.09.01 Problema. Prova de coplanaridade de vetores

03.09.02 Problema. Encontrar a área de um triângulo usando coordenadas vetoriais

03/09/03 Problema. Prova de igualdade para vetores não colineares

03/09/04 Problema. Encontrando o volume de um tetraedro e sua altura

03.10 Produto cruzado duplo

03.10.1 Problema. Prova de identidade

03.11 Base mútua

Semana 4 Parte 1. Avião no espaço

04.01 Definição de um plano no espaço

04.02 Várias formas de escrever a equação de um plano

04.03 Equação geral do plano

04.03.01 Problema. Equação plana

Semana 4 Parte 2. Direto em um avião. Linha reta e plano no espaço

04.04 Linha reta em um avião

04.04.01 Problema. Encontrando o vetor raio de um ponto

04.04.02 Problema. Condições de intersecção, paralelismo e perpendicularidade de retas em um plano

04.05 Equação geral de uma reta em um plano. Linha reta no espaço

04.05.01 Problema. Encontrando o vetor raio do ponto de intersecção das retas

04.05.02 Problema. Equação de uma linha que cruza duas linhas distorcidas

04.05.03 Problema. Equação de uma reta que passa por um ponto e é paralela a outra reta

04.05.04 Problema. Condição para a intersecção de uma linha e um plano

04.06 Arranjo mútuo de linhas e planos

04/06/01 Problema. Equação de um plano que passa por um ponto e é paralelo a duas retas

04/06/02 Problema. Equação de um plano que passa por uma reta e é paralelo a outra reta

04.07 Reta e plano no PDSC

04.07.01 Problema. Equação de retas que passam por um ponto e são equidistantes de outros dois pontos

04.07.02 Problema. Equação da bissetriz do ângulo entre as linhas

04.08 Alguns problemas de métricas no PDSC. Parte 1

04.08.01 Problema. Equação de retas paralelas a outra reta e separadas de um ponto a alguma distância

04.08.02 Problema. Equação geral de um plano que passa por algum ponto e uma reta. Distância deste plano a um determinado ponto

04.09 Alguns problemas métricos em PDSC. Parte 2

04.09.01 Problema. Distância entre linhas

Semana 5. Retas algébricas de segunda ordem no plano

05.01 Definição de linhas e superfícies algébricas

05.02 Linhas de segunda ordem em um avião. Equação da elipse

05.03 Equação de uma elipse imaginária, um par de linhas imaginárias que se cruzam, uma hipérbole, um par de linhas que se cruzam

05.04 Equação de uma parábola, pares de retas paralelas, pares de retas paralelas imaginárias, pares de retas coincidentes

05.05 Centro da linha. Linhas elípticas e hiperbólicas

05.05.01 Problema. Um tipo de curva de segunda ordem definida por alguma equação. A equação canônica de uma curva e o sistema de coordenadas canônico. Exemplo 1

05.05.02 Problema. Um tipo de curva de segunda ordem definida por alguma equação. A equação canônica de uma curva e o sistema de coordenadas canônico. Exemplo 2

05.05.03 Problema. Um tipo de curva de segunda ordem definida por alguma equação. A equação canônica de uma curva e o sistema de coordenadas canônico. Exemplo 3

Semana 6 Estudando as propriedades da elipse, hipérbole e parábola

06.01 Elipse

01/06/01 Problema. Equação canônica da elipse

06.02 Propriedades da elipse

06.03 Equação de uma tangente a uma elipse

03/06/01 Problema. Equação de tangentes a uma elipse

03/06/02 Problema. Ângulo entre a tangente e o eixo do Boi

06.04 Hipérbole

06/04/01 Problema. Excentricidade da hipérbole

06.05 Propriedades geométricas de uma hipérbole

05/06/01 Problema. Prova da constância do produto da distância de qualquer ponto de uma hipérbole às suas assíntotas

06.06 Parábola

06.06.01 Problema. Equação da parábola

06.06.02 Problema. Equações de tangentes a uma parábola

06.07 Elipse, hipérbole e parábola no sistema de coordenadas polares

Semana 7 Superfície de segunda ordem

07.01 Superfície de rotação

07.02 Elipsóide

07.03 Cone de segunda ordem

07.04 Hiperbolóide de folha única

07.05 Geradores retilíneos de um hiperbolóide de uma folha

07.06 Hiperbolóide de duas folhas, parabolóide elíptico e hiperbólico

07/06/01 Problema. Determinando o tipo de superfície

07/06/02 Problema. Pontos comuns de uma linha e superfícies de segunda ordem

07/06/03 Problema. Equações paramétricas de geradores retilíneos de uma determinada superfície

07/06/04 Problema. Tipo de superfície formada pela rotação de uma linha reta

Semana 8 Mapeamentos e Transformações

08.01 Definição de mapeamento e transformação

08.02 Mapeamento um-para-um. Produto de mapeamentos

08.03 Propriedades do produto de transformações planas. Coordenar gravação de mapeamentos

08.04 Transformações de planos ortogonais

08.05 Transformações lineares e afins

08.06 Imagem de um vetor durante transformação linear. Parte 1

08.07 Imagem de um vetor durante transformação linear. Parte 2

08.08 Propriedades geométricas de transformações afins

08.08.01 Problema. Simetria sobre uma linha reta

08.08.02 Problema. Uma transformação afim de um plano que leva determinadas linhas para si e um determinado ponto para algum outro ponto

08.09 Mudança de áreas durante a transformação afim

08.10 Imagens de linhas de segunda ordem sob transformação afim

08.10.01 Problema. Tipo de curva de segunda ordem

08.10.02 Problema. Prova de igualdade de somas de áreas de triângulos

08.11 Decomposição de uma transformação afim

08.11.01 Problema. Representação de uma determinada transformação afim como produtos de três transformações

Semana 9 Determinantes de matrizes de enésima ordem

09.01 Determinantes

01/09/01 Problema. Determinante de ordem n. Exemplo 1

01/09/02 Problema. Determinante de ordem n. Exemplo 2

09.02 Propriedades do determinante. Parte 1

09.03 Propriedades do determinante. Parte 2

09.04 Propriedades do determinante. Parte 3

09/04/01 Problema. Determinante de Vandermonde

09/04/02 Problema. Determinante de ordem 2n

09.05 Fórmula para desenvolvimento completo do determinante

09/05/01 Problema. Fórmula de decomposição completa para uma matriz de quinta ordem

09.06 SLAU em um caso especial

09.07 Regra de Cramer no caso geral

Semana 10 Classificação da matriz

10.01 Menores de ordem arbitrária

10.02 Classificação da matriz

10/02/01 Problema. Sistema de classificação e base de colunas de matriz

10/02/02 Problema. Estimando a classificação de uma matriz de ordem n

10/02/03 Problema. Prova de desigualdade de classificação para quaisquer matrizes do mesmo tamanho

10/02/04 Problema. Menor diferente de zero de ordem r de uma matriz de classificação r

10/02/05 Problema. Estimativa de classificação de matriz

10.03 Reduzindo a matriz para uma forma simplificada

10.04 Método Gaussiano

10.05 Teorema da base menor

10/05/01 Problema. Representação de uma matriz através do produto de matrizes

10.06 Teorema da classificação da matriz

10/06/01 Problema. Limite superior para a classificação do produto de duas matrizes

10/06/02 Problema. Prova de igualdade do posto de uma matriz à ordem mais elevada dos seus menores

Semana 11 matriz inversa

11.01 Definição de matriz inversa

11.02 Expressando elementos de uma matriz inversa através de elementos da matriz original

 11/02/01 Problema. Cálculo da matriz inversa. Exemplo 1

11/02/02 Problema. Encontrando a matriz inversa. Exemplo 2

11.03 Propriedades de uma matriz inversa

11/03/01 Problema. Verificando a validade da identidade para matrizes

11.04 Outra prova da existência de uma matriz inversa para uma matriz quadrada não singular

11.05 Polinômio característico de uma matriz

11/05/01 Problema. matriz inversa

11.06 Teorema de Hamilton-Cayley

11.07 Transformações elementares como multiplicação de matrizes

11/07/01 Problema. Cálculo da matriz inversa através de transformações elementares. Exemplo 1

11/07/02 Problema. Encontrando a matriz inversa. Exemplo 2

Semana 12 Teoria geral de sistemas lineares

12.01 Teorema de Kronecker-Capelli

12.02 Teorema de Fredholm

12.03 Solução geral de SLAE não homogêneo

12.04 Matriz fundamental de um SLAE homogêneo. Parte 1

12.05 Matriz fundamental de um SLAE homogêneo. Parte 2

05.12.01 Problema. Matriz fundamental do SLAE

05.12.02 Problema. Verificando a matriz fundamental do SLAE

05.12.03 Problema. Solução SLAE

05.12.04 Problema. Visão geral de uma matriz fundamental arbitrária de SLAEs

12/05/05 Problema. Condição de equivalência para SLAEs

12.06 Solução geral de SLAE não homogêneo

12/06/01 Problema. Solução SLAE

06.12.02 Problema. Compatibilidade de SLAEs heterogêneos

Semana 13 Exame final